Hallo Zusammen!
So langsam müssen wir glaube ich aufpassen, dass der Thread hier nicht zu unübersichtlich wird
.
Ich versuche mal, dass
Problem mit dem Doppelläufer von Ferdinand
zusammenzufassen.
Der Alleinspieler in Vorhand spiele Grand mit
Dabei soll uns nicht weiter interessieren, welche weiteren Karten der Alleinspieler hat und welche Karten gedrückt sind. Wichtig ist nur: Die restlichen Kreuz- und Herz-Karten stehen allesamt bei den Gegenspielern.
Der Alleinspieler interessiere sich ausschließlich für die Wahrscheinlichkeit eines Herz-Doppelläufers verglichen mit der Wahrscheinlichkeit, dass Herz-As und Kreuz-As je einmal laufen.
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1 Situation vor dem Ersten Stich
Vor dem ersten Stich sind folgende Verteilungen bei den Gegenspielern möglich:
Gesamtzahl der Verteilungen: 184.756
Kreuz 1:1 UND Herz 2:2: 41.184 entsprechend 22,29 %
Kreuz 1:1 UND Herz 3:1: 48.048 entsprechend 26,01 %
Kreuz 1:1 UND Herz 4:0: 8.008 entsprechend 4,33 %
Kreuz 2:0 UND Herz 2:2: 36.036 entsprechend 19,50 %
Kreuz 2:0 UND Herz 3:1: 43.472 entsprechend 23,53 %
Kreuz 2:0 UND Herz 4:0: 8.008 entsprechend 4,33 %
Der Alleinspieler beschließt nun, zum ersten Stich Herz-As aufzuspielen, da dieses ja nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 8,66 % nicht von beiden Spielern bedient werden muss. Wenn Herz-As dagegen von beiden Spielern bedient wird (zu 91,34 %), muss sich der Alleinspieler anschließend entscheiden, ob es besser ist Herz-10 oder Kreuz-As im zweiten Stich zu bringen.
1.
Im Folgenden werden nur Situationen betrachtet, in denen das Herz-As von beiden Spielern bedient wird!
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2.1 Zufällige Beigabe
Wählen die Gegenspieler ihre Beigabe zu Herz-As zufällig aus, so entfallen von den ursprünglichen 184.756 Verteilungen, nur die 16.016, bei denen Herz 4:0 steht. Die möglichen Verteilungen lauten demnach:
Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 41.184 entsprechend 24,41 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 48.048 entsprechend 28,47 %
Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 36.036 entsprechend 21,36 %
Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 43.472 entsprechend 25,76 %
Wie man leicht sehen kann, ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur Kreuz-As und nicht Herz-10 läuft, etwas größer als die Wahrscheinlichkeit, dass nur Herz-10 und nicht Kreuz-As läuft.
Der Alleinspieler sollte also 2. bringen.
Wie ja nun bereits ausgiebig diskutiert wurde, werden echte Gegenspieler ihre Beigabe zu Herz-As jedoch nicht rein zufällig auswählen (Ausnahmen gibt es vielleicht auf der grünen Wiese
). Betrachten wir also das von Ferdinand vorgeschlagene Szenario.
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2.2 Beigabe von Herz-König ausschließlich dann, wenn er blank steht
Nun müssen zwei Situationen (nämlich die ob Herz-König beigegeben wird oder nicht) unterschieden werden.
2.2.1 Herz-König fällt
Dies bedeutet, dass eine 2:2-Verteilung in Herz ausgeschlossen werden kann. Demnach kommen nur noch ein Viertel der Herz 3:1-Verteilungen in Frage (nämlich die, in denen der Spieler mit einem Herz gerade den König hat). Also:
Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 0 entsprechend 0 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 12.012 entsprechend 52,50 %
Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 0 entsprechend 0 %
Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 10.868 entsprechend 47,50 %
In diesem Fall sollte der Alleinspieler also auf jeden Fall 2. bringen.
2.2.2 Herz-König fällt nicht
Auf diese Variante entfallen alle 2:2-Verteilungen in Herz, sowie jene 3:1-Verteilungen, in denen der Herz-König nicht blank sitzt:
Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 41.184 entsprechend 28,24 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 36.036 entsprechend 24,71 %
Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 36.036 entsprechend 24,71 %
Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 32.604 entsprechend 22,35 %
In diesem Fall laufen 2. und 2. somit tatsächlich mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit.
Wie spock aber richtig anmerkte, könnte es durchaus Situationen geben, in denen der Gegenspieler mit Herz-König und Herz-Lusche (d.h. 2:2-Stand in Herz) auf Herz-As den König legt, da er z.B. Kreuz-frei ist und den Alleinspieler auf eine andere Farbe locken möchte. Versuchen wir auch diese Situation mathematisch zu erfassen.
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2.3 Beigabe von Herz-König ausschließlich dann, wenn er blank steht oder wenn er zu zweit beim kreuzfreien Gegenspieler sitzt
2.3.1 Herz-König fällt
Ein Viertel der Herz-3:1-Verteilungen, sowie die Hälfte der Verteilungen mit Kreuz 2:0 und Herz 2:2 kommen in Frage:
Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 0 entsprechend 0 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 12.012 entsprechend 29,37 %
Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 18.018 entsprechend 44,06 %
Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 10.868 entsprechend 26,57 %
2. ist plötzlich am besten! Die Situation hat sich umgekehrt. Wenn man tatsächlich davon ausgehen muss, dass der Gegenspieler ohne Kreuz den Herz-König legt, wenn er zwei Herz hat, dann sollte man gerade dann, wenn Herz-König fällt, im zweiten Stich die 10 nachbringen.
2.3.2 Herz-König fällt nicht
Für den Fall, dass auf Herz-As zwei Luschen beigegeben werden, verbleiben nun folgende Verteilungen:
Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 41.184 entsprechend 32,21 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 36.036 entsprechend 28,19 %
Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 18.018 entsprechend 14,09 %
Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 32.604 entsprechend 25,50 %
Die beste Fortsetzung ist nun eindeutig wieder 2. . Im Gegensatz zu Fall 2.2.2 ist die Herz-10 dem Kreuz-As nun deutlich unterlegen.
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Vermutlich liegt die Realität irgendwo zwischen den Fällen 2.2 und 2.3. Man könnte nun das Modell verfeinern und beispielsweise im nächsten Schritt annehmen, dass der kreuzfreie Gegenspieler mit dem Herz-König zu zweit diesen in einem von zwölf Fällen auf das Herz-As legt. Dann käme man zu dem Ergebnis, dass das Kreuz-As der Herz-10 in jedem Fall überlegen ist (also egal, ob der König im ersten fällt oder nicht). Zur weiteren Verfeinerung müsste dann noch die Verteilung der Bauern und Restfarben, sowie idealerweise die Reizungen berücksichtigt werden.
Ich denke aber, dass man sich nach diesen Überlegungen nicht zu weit aus dem Fenster lehnen muss, um sagen zu können:
1.
2.
ist der sicherste Vortrag, wenn man einen Abstich vermeiden möchte.
Schöne Grüße,
erasmus